In der Geometrie beschreibt man geometrische Objekte durch geometrische Größen. Die euklidische Geometrie benutzt geometrische Größen und Eigenschaften wie Länge, Winkel, Flächeninhalt bzw. Volumen, Parallelität, Teilungsverhätlnis.
Ein Quadrat z. B. wird bestimmt durch:
Einen zu einer Bewegung vergleichbaren Effekt erhält man, wenn man ein rechtwinkliges Koordinatensystem durch ein anderes, verschobenes und gedrehtes rechtwinkliges Koordinatensystem ersetzt: In jedem rechtwinkligen Koordinatensystem sind die Punkte P1=(0|0), P2=(1|0), P3=(1|1) und P4=(0|1) Eckpunkte des gleichen Quadrates.
Andererseits sind die Punkte P1, ... P4 in einem nicht rechtwinkligen Koordinatensystem die Eckpunkte eines Parallelolgramms. Bei Benutzung eines beliebigen Koordinatensystems verändern sich die Größen wie Länge, Inhalt, und Winkel, unverändert bleiben Parallität und Teilungsverhältnisse. Damit sind bereits die wesentlichen Effekte der affinen Geometrie beschrieben.
2. Affine Geometrie
In der affinen Geometrie werden die Objekte durch geometrische Größen beschrieben, die beim Wechsel von beliebigen geradlinigen Koordinatensystemen erhalten bleiben. Einen Effekt, vergleichbar zum Wechsel der Koordinatensysteme, erhält man, wenn die geometrischen Objekte mit einer beliebigen regulären linearen Abbildung und einer Translation abgebildet werden. Die Hintereinanderausführung dieser beiden Abbildungen heißt reguläre affine Transformation. Affine geometrische Eigenschaften, die invariant unter regulären affinenen Transformationen sind, sind: Parallelität, Teilungsverhältnis.
Mit Hilfe einer affinen Transformation können z. B. Quadrate in Parallelogramme und Kreise in Ellipsen abgebildet werden. Dh. zwischen Quadraten, Rechtecken und Parallelogrammen wird in der affinen Geometrie nicht unterschieden. Ebenso gehören in der affinen Geometrie Kreise und Ellipsen zur gleichen Klasse von Objekten.
3. Äquiaffine Geometrie
Einen Spezialfall der affinen Geometrie, die äquiaffine Geometrie, erhält man, wenn die Transformationen nur aus Translationen und linearen Abbildungen L mit Det(L)=1 betrachtet. Hier erhält man als zusätzliche geometrische Invariante den Inhalt der Figuren.
Zusammenfassung:
Geometrische Eigenschaften sind Invarianten unter Transformationen.
Objekte, die mit den betrachteten Transformationen in einander überführt werden können, werden nicht unterschieden und bilden eine Objektklasse.
| Geometie: | affine Geometrie | äquiaffine Geometrie | euklidische Geometrie |
| Transformationen: | Translationen, reguläre lineare Abbildungen | Translationen, reguläre lineare Abbildungen mit Determinante 1 | Translationen, Drehungen |
| Beispiele von Objektklassen: | {Quadrat, Rechteck, Parallelogramm}, {Kreis, Ellipse} |
{flächengleiche Quadrate, Rechtecke, Parallelogramme}, {flächengleiche Kreise, Ellipsen} |
{Quadrat}, {Rechteck}, {Parallelogramm}, {Kreis}, {Ellipse} |
| geometrische Größen | Parallelität, Teilungsverhältnis | Parallelität, Teilungsverhältnis, Flächeninhalt | Parallelität, Teilungsverhältnis, Flächeninhalt, Länge, Winkel |